Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- atan(dos *x)*sin(seis *x)/(x*(- uno +(uno + nueve *x)^(uno / tres)))
- arco tangente de gente de (2 multiplicar por x) multiplicar por seno de (6 multiplicar por x) dividir por (x multiplicar por ( menos 1 más (1 más 9 multiplicar por x) en el grado (1 dividir por 3)))
- arco tangente de gente de (dos multiplicar por x) multiplicar por seno de (seis multiplicar por x) dividir por (x multiplicar por ( menos uno más (uno más nueve multiplicar por x) en el grado (uno dividir por tres)))
- atan(2*x)*sin(6*x)/(x*(-1+(1+9*x)(1/3)))
- atan2*x*sin6*x/x*-1+1+9*x1/3
- atan(2x)sin(6x)/(x(-1+(1+9x)^(1/3)))
- atan(2x)sin(6x)/(x(-1+(1+9x)(1/3)))
- atan2xsin6x/x-1+1+9x1/3
- atan2xsin6x/x-1+1+9x^1/3
- atan(2*x)*sin(6*x) dividir por (x*(-1+(1+9*x)^(1 dividir por 3)))
-
Expresiones semejantes
- atan(2*x)*sin(6*x)/(x*(-1-(1+9*x)^(1/3)))
- atan(2*x)*sin(6*x)/(x*(1+(1+9*x)^(1/3)))
- atan(2*x)*sin(6*x)/(x*(-1+(1-9*x)^(1/3)))
- arctan(2*x)*sin(6*x)/(x*(-1+(1+9*x)^(1/3)))
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(3*x)*sin(3*x)/(x*(-1+(1-6*x)^(1/3)))
- atan(x)^3
- atan(n*x)
- atan(x^2)/(asin(3*x)*sin(x/2))
- atan(x)^2/2
- Seno sin
- sin(x)^2/(1+cos(x))
- sin(3*x)/(9*x)
- sin(3*x)/x^2
- sin(3*x)/sin(x)
- sin(x)/(x+tan(x))
Límite de la función atan(2*x)*sin(6*x)/(x*(-1+(1+9*x)^(1/3)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ atan(2*x)*sin(6*x) \
lim |--------------------|
x->0+| / 3 _________\|
\x*\-1 + \/ 1 + 9*x //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right)$$
Limit((atan(2*x)*sin(6*x))/((x*(-1 + (1 + 9*x)^(1/3)))), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(9 x + 1\right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{6 \cos{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{x \left(4 x^{2} + 1\right)} - \frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{12 x^{3} + 3 x} + \frac{2 \cos{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{12 x^{3} + 3 x} + \frac{2 \cos{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(9 x + 1\right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{6 \cos{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{x \left(4 x^{2} + 1\right)} - \frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{12 x^{3} + 3 x} + \frac{2 \cos{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(6 x \right)}}{12 x^{3} + 3 x} + \frac{2 \cos{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ atan(2*x)*sin(6*x) \
lim |--------------------|
x->0+| / 3 _________\|
\x*\-1 + \/ 1 + 9*x //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right)$$
4
$$4$$
= 4.0
/ atan(2*x)*sin(6*x) \
lim |--------------------|
x->0-| / 3 _________\|
\x*\-1 + \/ 1 + 9*x //
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right)$$
4
$$4$$
= 4.0
= 4.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = \frac{\sin{\left(6 \right)} \operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{-1 + \sqrt[3]{10}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = \frac{\sin{\left(6 \right)} \operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{-1 + \sqrt[3]{10}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = \frac{\sin{\left(6 \right)} \operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{-1 + \sqrt[3]{10}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = \frac{\sin{\left(6 \right)} \operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{-1 + \sqrt[3]{10}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{9 x + 1} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico