Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} \left(\frac{2 x}{\left(x^{4} + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{3 x^{4} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{6 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{3 x^{4} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{6 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)