Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- asin(x)/(dos *x)
- ar coseno de eno de (x) dividir por (2 multiplicar por x)
- ar coseno de eno de (x) dividir por (dos multiplicar por x)
- asin(x)/(2x)
- asinx/2x
- asin(x) dividir por (2*x)
-
Expresiones semejantes
- (x+asin(x))/(2*x+atan(x))
- arcsin(x)/(2*x)
- arcsinx/(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Arcoseno arcsin
- asin(1/n)
- asin(x)^sin(x)
- asin(2*x)/(-1+2^(-3*x))
- asin(x)+sin(x)
- asin(3*x)/sin(3*x)
Límite de la función asin(x)/(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/asin(x)\ lim |-------| x->0+\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
Limit(asin(x)/((2*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
$$x = \sin{\left(u \right)}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \sin{\left(u \right)}}\right)}{2}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
$$x = \sin{\left(u \right)}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \sin{\left(u \right)}}\right)}{2}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{2}$$
/sin(u)\
= 1/2 / ( lim |------| )
u->0+\ u / El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/asin(x)\ lim |-------| x->0+\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/asin(x)\ lim |-------| x->0-\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Gráfico