Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2^{3 x} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - 2^{3 x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{-1 + 2^{- 3 x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{3 x} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{1 - 2^{3 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2^{3 x} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(1 - 2^{3 x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2^{- 3 x} \left(3 \cdot 2^{3 x} \log{\left(2 \right)} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cdot 2^{3 x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\right)}{3 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3 \cdot 2^{3 x} \log{\left(2 \right)} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cdot 2^{3 x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}}{3 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3 \cdot 2^{3 x} \log{\left(2 \right)} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cdot 2^{3 x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}}{3 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{2}{3 \log{\left(2 \right)}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)