Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro + cinco *x)/(siete + cinco *x))^(uno + siete *x)
- ((4 más 5 multiplicar por x) dividir por (7 más 5 multiplicar por x)) en el grado (1 más 7 multiplicar por x)
- ((cuatro más cinco multiplicar por x) dividir por (siete más cinco multiplicar por x)) en el grado (uno más siete multiplicar por x)
- ((4+5*x)/(7+5*x))(1+7*x)
- 4+5*x/7+5*x1+7*x
- ((4+5x)/(7+5x))^(1+7x)
- ((4+5x)/(7+5x))(1+7x)
- 4+5x/7+5x1+7x
- 4+5x/7+5x^1+7x
- ((4+5*x) dividir por (7+5*x))^(1+7*x)
-
Expresiones semejantes
- ((4+5*x)/(7+5*x))^(1-7*x)
- ((4-5*x)/(7+5*x))^(1+7*x)
- ((4+5*x)/(7-5*x))^(1+7*x)
Límite de la función ((4+5*x)/(7+5*x))^(1+7*x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + 7*x
/4 + 5*x\
lim |-------|
x->oo\7 + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
Limit(((4 + 5*x)/(7 + 5*x))^(1 + 7*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 7\right) - 3}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{5 x + 7} + \frac{5 x + 7}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 7}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{5} - \frac{44}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{5}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{44}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{44}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{21}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{21}{5}} = e^{- \frac{21}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = e^{- \frac{21}{5}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 7\right) - 3}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{5 x + 7} + \frac{5 x + 7}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 7}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{5} - \frac{44}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{5}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{44}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{44}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{21}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{21}{5}} = e^{- \frac{21}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = e^{- \frac{21}{5}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = e^{- \frac{21}{5}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = \frac{4}{7}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = \frac{4}{7}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = \frac{6561}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = \frac{6561}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = e^{- \frac{21}{5}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = \frac{4}{7}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = \frac{4}{7}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = \frac{6561}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = \frac{6561}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 7}\right)^{7 x + 1} = e^{- \frac{21}{5}}$$
Más detalles con x→-oo