Límite de la función sqrt(30+x)*(sqrt(14+4*x)-2*sqrt(x))

Tenemos la indeterminación de tipo

oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x + 30} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 2 \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{2 x + 7}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 \sqrt{x} + \sqrt{4 x + 14}\right) \sqrt{x + 30}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{2 x + 7}\right) \sqrt{x + 30}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x + 30}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- 2 \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{2 x + 7}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{2 x + 7}\right)^{2}}{2 \sqrt{x + 30} \left(- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 x + 7}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 \sqrt{x + 30} \left(- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 x + 7}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(- 2 \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{2 x + 7}\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\sqrt{2}}{- 8 \sqrt{2} \sqrt{x} \sqrt{x + 30} + \frac{8 x \sqrt{x + 30}}{\sqrt{2 x + 7}} + 4 \sqrt{x + 30} \sqrt{2 x + 7} + \frac{28 \sqrt{x + 30}}{\sqrt{2 x + 7}} + \frac{14 \sqrt{x + 30} \sqrt{2 x + 7}}{x} - \frac{28 \sqrt{2} \sqrt{x + 30}}{\sqrt{x}}} - \frac{1}{4 \sqrt{x} \sqrt{x + 30} - \frac{4 \sqrt{2} x \sqrt{x + 30}}{\sqrt{2 x + 7}} - \frac{120 \sqrt{2} \sqrt{x + 30}}{\sqrt{2 x + 7}} + \frac{120 \sqrt{x + 30}}{\sqrt{x}}} + \frac{1}{\frac{8 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x + 30}}{2 x + 7} + 4 \sqrt{x} \sqrt{x + 30} - \frac{8 \sqrt{2} x \sqrt{x + 30}}{\sqrt{2 x + 7}}}}{- \frac{2 \sqrt{2}}{- 32 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{2 x + 7} - 84 \sqrt{x} \sqrt{2 x + 7} + 32 \sqrt{2} x^{2} + 140 \sqrt{2} x + 98 \sqrt{2}} + \frac{2}{16 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{2 x + 7} + 14 \sqrt{2} \sqrt{x} \sqrt{2 x + 7} - 32 x^{2} - 84 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\sqrt{2}}{- 8 \sqrt{2} \sqrt{x} \sqrt{x + 30} + \frac{8 x \sqrt{x + 30}}{\sqrt{2 x + 7}} + 4 \sqrt{x + 30} \sqrt{2 x + 7} + \frac{28 \sqrt{x + 30}}{\sqrt{2 x + 7}} + \frac{14 \sqrt{x + 30} \sqrt{2 x + 7}}{x} - \frac{28 \sqrt{2} \sqrt{x + 30}}{\sqrt{x}}} - \frac{1}{4 \sqrt{x} \sqrt{x + 30} - \frac{4 \sqrt{2} x \sqrt{x + 30}}{\sqrt{2 x + 7}} - \frac{120 \sqrt{2} \sqrt{x + 30}}{\sqrt{2 x + 7}} + \frac{120 \sqrt{x + 30}}{\sqrt{x}}} + \frac{1}{\frac{8 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x + 30}}{2 x + 7} + 4 \sqrt{x} \sqrt{x + 30} - \frac{8 \sqrt{2} x \sqrt{x + 30}}{\sqrt{2 x + 7}}}}{- \frac{2 \sqrt{2}}{- 32 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{2 x + 7} - 84 \sqrt{x} \sqrt{2 x + 7} + 32 \sqrt{2} x^{2} + 140 \sqrt{2} x + 98 \sqrt{2}} + \frac{2}{16 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{2 x + 7} + 14 \sqrt{2} \sqrt{x} \sqrt{2 x + 7} - 32 x^{2} - 84 x}}\right)$$
=
$$\frac{7}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)