Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (e^x+sin(x))/(x+e^x)
- (e en el grado x más seno de (x)) dividir por (x más e en el grado x)
- (ex+sin(x))/(x+ex)
- ex+sinx/x+ex
- e^x+sinx/x+e^x
- (e^x+sin(x)) dividir por (x+e^x)
-
Expresiones semejantes
- (e^x+sin(x))/(x-e^x)
- (e^x-sin(x))/(x+e^x)
- (e^x+sinx)/(x+e^x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(8*x)/x
- sin(5*x)/(7*x)
- sin(6*x)/tan(2*x)
- sin(-2+x)/(-2+x)
- sin(9*x)*tan(6*x)/(1-cos(10*x))
Límite de la función (e^x+sin(x))/(x+e^x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
|E + sin(x)|
lim |-----------|
x->oo| x |
\ x + E /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right)$$
Limit((E^x + sin(x))/(x + E^x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} + \sin{\left(x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + e^{x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{x + e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + e^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + \cos{\left(x \right)}}{e^{x} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} + \sin{\left(x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + e^{x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{x + e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + e^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + \cos{\left(x \right)}}{e^{x} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)} + e}{1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)} + e}{1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)} + e}{1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)} + e}{1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} + \sin{\left(x \right)}}{e^{x} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo