Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de 1+1/x
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *(- uno +(uno +x^(- dos))^ tres)/ tres
- x al cuadrado multiplicar por ( menos 1 más (1 más x en el grado ( menos 2)) al cubo ) dividir por 3
- x en el grado dos multiplicar por ( menos uno más (uno más x en el grado ( menos dos)) en el grado tres) dividir por tres
- x2*(-1+(1+x(-2))3)/3
- x2*-1+1+x-23/3
- x²*(-1+(1+x^(-2))³)/3
- x en el grado 2*(-1+(1+x en el grado (-2)) en el grado 3)/3
- x^2(-1+(1+x^(-2))^3)/3
- x2(-1+(1+x(-2))3)/3
- x2-1+1+x-23/3
- x^2-1+1+x^-2^3/3
- x^2*(-1+(1+x^(-2))^3) dividir por 3
-
Expresiones semejantes
- x^2*(-1-(1+x^(-2))^3)/3
- x^2*(-1+(1-x^(-2))^3)/3
- x^2*(1+(1+x^(-2))^3)/3
- x^2*(-1+(1+x^(2))^3)/3
Límite de la función x^2*(-1+(1+x^(-2))^3)/3
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 3\\
| 2 | / 1 \ ||
|x *|-1 + |1 + --| ||
| | | 2| ||
| \ \ x / /|
lim |-------------------|
x->oo\ 3 /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right)$$
Limit((x^2*(-1 + (1 + x^(-2))^3))/3, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4} + 3 x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{6} + \left(x^{2} + 1\right)^{3}}{3 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{4} + 3 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{3} + 6 x}{12 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x^{3} + 6 x\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{36 x^{2} + 6}{36 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(36 x^{2} + 6\right)}{\frac{d}{d x} 36 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4} + 3 x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{6} + \left(x^{2} + 1\right)^{3}}{3 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{4} + 3 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{3} + 6 x}{12 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x^{3} + 6 x\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{36 x^{2} + 6}{36 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(36 x^{2} + 6\right)}{\frac{d}{d x} 36 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - 1\right)}{3}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo