Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
- Gráfico de la función y =:
-
atan(2*x)/x
-
Expresiones idénticas
- atan(dos *x)/x
- arco tangente de gente de (2 multiplicar por x) dividir por x
- arco tangente de gente de (dos multiplicar por x) dividir por x
- atan(2x)/x
- atan2x/x
- atan(2*x) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (x-atan(2*x))/x^2
- (x-atan(2*x))/x
- (asin(x)/2-atan(2*x))/x
- atan(2*x)/(x^2*(1+x^2))
- arctan(2*x)/x
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(x)/x
- atan(log(x))
- atan(3*x)/(5*x)
- atan(3*x)/asin(2*x)
- atan(5*x)/(3*x)
Límite de la función atan(2*x)/x
Solución
Ha introducido
[src]
/atan(2*x)\ lim |---------| x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Limit(atan(2*x)/x, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$$
$$x = \frac{\tan{\left(u \right)}}{2}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \tan{\left(u \right)}}{2} \right)}}{\frac{1}{2} \tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}$$
cambiamos
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$$
$$x = \frac{\tan{\left(u \right)}}{2}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \tan{\left(u \right)}}{2} \right)}}{\frac{1}{2} \tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}$$
/tan(u)\
= 2 / ( lim |------| )
u->0+\ u / cambiamos
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{4 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{4 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/atan(2*x)\ lim |---------| x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
/atan(2*x)\ lim |---------| x->0-\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
= 2.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico