Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de (x-x^3+5*x^2)/(-x^2+2*x^3+7*x)
-
Expresiones idénticas
- -x+x*e^(- uno /(cinco +x))
- menos x más x multiplicar por e en el grado ( menos 1 dividir por (5 más x))
- menos x más x multiplicar por e en el grado ( menos uno dividir por (cinco más x))
- -x+x*e(-1/(5+x))
- -x+x*e-1/5+x
- -x+xe^(-1/(5+x))
- -x+xe(-1/(5+x))
- -x+xe-1/5+x
- -x+xe^-1/5+x
- -x+x*e^(-1 dividir por (5+x))
-
Expresiones semejantes
- -x-x*e^(-1/(5+x))
- x+x*e^(-1/(5+x))
- -x+x*e^(1/(5+x))
- -x+x*e^(-1/(5-x))
Límite de la función -x+x*e^(-1/(5+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ -1 \
| -----|
| 5 + x|
lim \-x + x*E /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right)$$
Limit(-x + x*E^(-1/(5 + x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{- \frac{1}{x + 5}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x + 5}}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(1 - e^{\frac{1}{x + 5}}\right) e^{- \frac{1}{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x e^{- \frac{1}{x + 5}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x + 5}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(1 - e^{\frac{1}{x + 5}}\right)^{2} \left(x + 5\right)^{2} \left(\frac{x e^{- \frac{1}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{2}} + e^{- \frac{1}{x + 5}}\right) e^{- \frac{1}{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x}{x^{2} e^{\frac{1}{x + 5}} + 10 x e^{\frac{1}{x + 5}} + 25 e^{\frac{1}{x + 5}}} + e^{- \frac{1}{x + 5}}\right) \left(- x^{2} e^{\frac{2}{x + 5}} + 2 x^{2} e^{\frac{1}{x + 5}} - x^{2} - 10 x e^{\frac{2}{x + 5}} + 20 x e^{\frac{1}{x + 5}} - 10 x - 25 e^{\frac{2}{x + 5}} + 50 e^{\frac{1}{x + 5}} - 25\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x}{x^{2} e^{\frac{1}{x + 5}} + 10 x e^{\frac{1}{x + 5}} + 25 e^{\frac{1}{x + 5}}} + e^{- \frac{1}{x + 5}}\right) \left(- x^{2} e^{\frac{2}{x + 5}} + 2 x^{2} e^{\frac{1}{x + 5}} - x^{2} - 10 x e^{\frac{2}{x + 5}} + 20 x e^{\frac{1}{x + 5}} - 10 x - 25 e^{\frac{2}{x + 5}} + 50 e^{\frac{1}{x + 5}} - 25\right)\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{- \frac{1}{x + 5}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x + 5}}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(1 - e^{\frac{1}{x + 5}}\right) e^{- \frac{1}{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x e^{- \frac{1}{x + 5}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x + 5}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(1 - e^{\frac{1}{x + 5}}\right)^{2} \left(x + 5\right)^{2} \left(\frac{x e^{- \frac{1}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{2}} + e^{- \frac{1}{x + 5}}\right) e^{- \frac{1}{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x}{x^{2} e^{\frac{1}{x + 5}} + 10 x e^{\frac{1}{x + 5}} + 25 e^{\frac{1}{x + 5}}} + e^{- \frac{1}{x + 5}}\right) \left(- x^{2} e^{\frac{2}{x + 5}} + 2 x^{2} e^{\frac{1}{x + 5}} - x^{2} - 10 x e^{\frac{2}{x + 5}} + 20 x e^{\frac{1}{x + 5}} - 10 x - 25 e^{\frac{2}{x + 5}} + 50 e^{\frac{1}{x + 5}} - 25\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x}{x^{2} e^{\frac{1}{x + 5}} + 10 x e^{\frac{1}{x + 5}} + 25 e^{\frac{1}{x + 5}}} + e^{- \frac{1}{x + 5}}\right) \left(- x^{2} e^{\frac{2}{x + 5}} + 2 x^{2} e^{\frac{1}{x + 5}} - x^{2} - 10 x e^{\frac{2}{x + 5}} + 20 x e^{\frac{1}{x + 5}} - 10 x - 25 e^{\frac{2}{x + 5}} + 50 e^{\frac{1}{x + 5}} - 25\right)\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = - \frac{-1 + e^{\frac{1}{6}}}{e^{\frac{1}{6}}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = - \frac{-1 + e^{\frac{1}{6}}}{e^{\frac{1}{6}}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = - \frac{-1 + e^{\frac{1}{6}}}{e^{\frac{1}{6}}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = - \frac{-1 + e^{\frac{1}{6}}}{e^{\frac{1}{6}}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + e^{- \frac{1}{x + 5}} x\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo