Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((uno + tres *x)/(cuatro + tres *x))^(dos *x)
- ((1 más 3 multiplicar por x) dividir por (4 más 3 multiplicar por x)) en el grado (2 multiplicar por x)
- ((uno más tres multiplicar por x) dividir por (cuatro más tres multiplicar por x)) en el grado (dos multiplicar por x)
- ((1+3*x)/(4+3*x))(2*x)
- 1+3*x/4+3*x2*x
- ((1+3x)/(4+3x))^(2x)
- ((1+3x)/(4+3x))(2x)
- 1+3x/4+3x2x
- 1+3x/4+3x^2x
- ((1+3*x) dividir por (4+3*x))^(2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+3*x)/(4-3*x))^(2*x)
- ((1-3*x)/(4+3*x))^(2*x)
Límite de la función ((1+3*x)/(4+3*x))^(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x
/1 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\4 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
Limit(((1 + 3*x)/(4 + 3*x))^(2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 4\right) - 3}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{3 x + 4} + \frac{3 x + 4}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 4}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - \frac{8}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 4\right) - 3}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{3 x + 4} + \frac{3 x + 4}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 4}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - \frac{8}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = \frac{16}{49}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = \frac{16}{49}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = \frac{16}{49}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = \frac{16}{49}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{2 x} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico