Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\left(z - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(2 x + \pi\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\left(2 x + \pi\right) \left(z - 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\left(2 x + \pi\right) \left(z - 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\left(z - 1\right)^{2}}}{\frac{d}{d x} \left(2 x + \pi\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\left(z - 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(- \frac{1}{z^{2} - 2 z + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(- \frac{1}{z^{2} - 2 z + 1}\right)$$
=
$$- \frac{1}{z^{2} - 2 z + 1}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)