Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(-2-5*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (nueve + dos *x+ tres *x^ dos)/(cuatro -x+ dos *x^ dos)
- (9 más 2 multiplicar por x más 3 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (4 menos x más 2 multiplicar por x al cuadrado )
- (nueve más dos multiplicar por x más tres multiplicar por x en el grado dos) dividir por (cuatro menos x más dos multiplicar por x en el grado dos)
- (9+2*x+3*x2)/(4-x+2*x2)
- 9+2*x+3*x2/4-x+2*x2
- (9+2*x+3*x²)/(4-x+2*x²)
- (9+2*x+3*x en el grado 2)/(4-x+2*x en el grado 2)
- (9+2x+3x^2)/(4-x+2x^2)
- (9+2x+3x2)/(4-x+2x2)
- 9+2x+3x2/4-x+2x2
- 9+2x+3x^2/4-x+2x^2
- (9+2*x+3*x^2) dividir por (4-x+2*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (9+2*x+3*x^2)/(4+x+2*x^2)
- (9+2*x+3*x^2)/(4-x-2*x^2)
- (9+2*x-3*x^2)/(4-x+2*x^2)
- (9-2*x+3*x^2)/(4-x+2*x^2)
Límite de la función (9+2*x+3*x^2)/(4-x+2*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|9 + 2*x + 3*x |
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\ 4 - x + 2*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right)$$
Limit((9 + 2*x + 3*x^2)/(4 - x + 2*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u^{2} + 2 u + 3}{4 u^{2} - u + 2}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 9 \cdot 0^{2} + 3}{- 0 + 4 \cdot 0^{2} + 2} = \frac{3}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^{2}}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u^{2} + 2 u + 3}{4 u^{2} - u + 2}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 9 \cdot 0^{2} + 3}{- 0 + 4 \cdot 0^{2} + 2} = \frac{3}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 2 x + 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} - x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 2 x + 9}{2 x^{2} - x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 2 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} - x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 2}{4 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 2 x + 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} - x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 2 x + 9}{2 x^{2} - x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 2 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} - x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 2}{4 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{14}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{14}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{14}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{14}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(2 x + 9\right)}{2 x^{2} + \left(4 - x\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico