Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\left(1 + \frac{1}{3 x}\right)^{2} - 1\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 9 x^{2} + \left(3 x + 1\right)^{2}}{9 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} 9 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)