Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x+x^ dos)/(x^ dos - seis *x)
- (1 más x más x al cuadrado ) dividir por (x al cuadrado menos 6 multiplicar por x)
- (uno más x más x en el grado dos) dividir por (x en el grado dos menos seis multiplicar por x)
- (1+x+x2)/(x2-6*x)
- 1+x+x2/x2-6*x
- (1+x+x²)/(x²-6*x)
- (1+x+x en el grado 2)/(x en el grado 2-6*x)
- (1+x+x^2)/(x^2-6x)
- (1+x+x2)/(x2-6x)
- 1+x+x2/x2-6x
- 1+x+x^2/x^2-6x
- (1+x+x^2) dividir por (x^2-6*x)
-
Expresiones semejantes
- (1-x+x^2)/(x^2-6*x)
- (1+x+x^2)/(x^2+6*x)
- (1+x-x^2)/(x^2-6*x)
Límite de la función (1+x+x^2)/(x^2-6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|1 + x + x |
lim |----------|
x->oo| 2 |
\ x - 6*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right)$$
Limit((1 + x + x^2)/(x^2 - 6*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + u + 1}{1 - 6 u}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 1}{1 - 0} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + u + 1}{1 - 6 u}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 1}{1 - 0} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 6 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x + 1}{x \left(x - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 6 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x - 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x - 6}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 6 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x + 1}{x \left(x - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 6 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x - 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x - 6}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = - \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = - \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = - \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = - \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2} - 6 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico