Límite de la función (x+1/(4*x))^3

Tenemos la indeterminación de tipo

oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(64 x^{6} + 48 x^{4} + 12 x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(64 x^{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + \frac{1}{4 x}\right)^{3}$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 1\right)^{3}}{64 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(64 x^{6} + 48 x^{4} + 12 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 64 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{384 x^{5} + 192 x^{3} + 24 x}{192 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(384 x^{5} + 192 x^{3} + 24 x\right)}{\frac{d}{d x} 192 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1920 x^{4} + 576 x^{2} + 24}{384 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1920 x^{4} + 576 x^{2} + 24\right)}{\frac{d}{d x} 384 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(20 x^{3} + 3 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(20 x^{3} + 3 x\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)