Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} 2^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{- x} \left(x + 1\right)^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} 2^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} \left(2 x + 2\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} 2^{x} \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)