Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(x^{8} - 21 x^{7} + 176 x^{6} - 736 x^{5} + 1536 x^{4} - 1280 x^{3} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{3} \left(x - 4\right)^{4} \left(x - 5\right) \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{3} \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)^{4} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(x^{8} - 21 x^{7} + 176 x^{6} - 736 x^{5} + 1536 x^{4} - 1280 x^{3} \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x^{7} - 147 x^{6} + 1056 x^{5} - 3680 x^{4} + 6144 x^{3} - 3840 x^{2}}{\left(x^{8} - 21 x^{7} + 176 x^{6} - 736 x^{5} + 1536 x^{4} - 1280 x^{3}\right)^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 x^{7} - 147 x^{6} + 1056 x^{5} - 3680 x^{4} + 6144 x^{3} - 3840 x^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 x^{7} - 147 x^{6} + 1056 x^{5} - 3680 x^{4} + 6144 x^{3} - 3840 x^{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)