Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(e^{5 x} - 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(1 - 3 x^{4} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{5 x} - 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)}}{\log{\left(1 - 3 x^{4} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{5 x} - 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)}}{\log{\left(1 - 3 x^{4} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{5 x} - 1\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(1 - 3 x^{4} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(1 - 3 x^{4}\right) \left(5 e^{5 x} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{6 \left(e^{5 x} - 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1}\right)}{12 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{5 e^{5 x} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{6 e^{5 x} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1} - \frac{6 \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1}}{12 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{5 e^{5 x} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{6 e^{5 x} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1} - \frac{6 \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1}}{12 x^{3}}\right)$$
=
$$- \frac{40}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)