Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+x^3+2*x)/(-7*x^3-4*x^2)
-
Límite de (-12+x^2-4*x)/(48+x^2-14*x)
-
Límite de (-sin(x)+tan(x))/(-sin(x)+4*x)
-
Límite de ((1+x)^4-(-1+x)^4)/((1+x)^3+(-1+x)^3)
-
Expresiones idénticas
- log(x-(- tres + dos *x)^(tres / cuatro))/(-sin(pi*(- uno +x))+sin(pi*x/ dos))
- logaritmo de (x menos ( menos 3 más 2 multiplicar por x) en el grado (3 dividir por 4)) dividir por ( menos seno de ( número pi multiplicar por ( menos 1 más x)) más seno de ( número pi multiplicar por x dividir por 2))
- logaritmo de (x menos ( menos tres más dos multiplicar por x) en el grado (tres dividir por cuatro)) dividir por ( menos seno de ( número pi multiplicar por ( menos uno más x)) más seno de ( número pi multiplicar por x dividir por dos))
- log(x-(-3+2*x)(3/4))/(-sin(pi*(-1+x))+sin(pi*x/2))
- logx--3+2*x3/4/-sinpi*-1+x+sinpi*x/2
- log(x-(-3+2x)^(3/4))/(-sin(pi(-1+x))+sin(pix/2))
- log(x-(-3+2x)(3/4))/(-sin(pi(-1+x))+sin(pix/2))
- logx--3+2x3/4/-sinpi-1+x+sinpix/2
- logx--3+2x^3/4/-sinpi-1+x+sinpix/2
- log(x-(-3+2*x)^(3 dividir por 4)) dividir por (-sin(pi*(-1+x))+sin(pi*x dividir por 2))
-
Expresiones semejantes
- log(x+(-3+2*x)^(3/4))/(-sin(pi*(-1+x))+sin(pi*x/2))
- log(x-(3+2*x)^(3/4))/(-sin(pi*(-1+x))+sin(pi*x/2))
- log(x-(-3+2*x)^(3/4))/(-sin(pi*(1+x))+sin(pi*x/2))
- log(x-(-3+2*x)^(3/4))/(-sin(pi*(-1-x))+sin(pi*x/2))
- log(x-(-3+2*x)^(3/4))/(sin(pi*(-1+x))+sin(pi*x/2))
- log(x-(-3+2*x)^(3/4))/(-sin(pi*(-1+x))-sin(pi*x/2))
- log(x-(-3-2*x)^(3/4))/(-sin(pi*(-1+x))+sin(pi*x/2))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(-x+2*x^3)/log(x^3+x^4-x)
- log(1+x^2+3*x)/(1+x^2+5*x)
- log(1+sin(x))/(e^(1+x)-e^x)
- log(-3+x^2+2*x)/log(10)
- log((1+x^2)/(1+x^2-x))/(b*x)
- Seno sin
- sin(1/(1+2*x))
- sin(x)^2*sin(2*x)^3/x
- sin(sin(x))/sin(x)
- sin((1+t^2)/t)
- sin(-90+90*x)/atan(-29+29*x)
- Seno sin
- sin(1/(1+2*x))
- sin(x)^2*sin(2*x)^3/x
- sin(sin(x))/sin(x)
- sin((1+t^2)/t)
- sin(-90+90*x)/atan(-29+29*x)
Límite de la función log(x-(-3+2*x)^(3/4))/(-sin(pi*(-1+x))+sin(pi*x/2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 3/4\ \
| log\x - (-3 + 2*x) / |
lim |-----------------------------|
x->2+| /pi*x\|
|-sin(pi*(-1 + x)) + sin|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
Limit(log(x - (-3 + 2*x)^(3/4))/(-sin(pi*(-1 + x)) + sin((pi*x)/2)), x, 2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+} \log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1 - \frac{3}{2 \sqrt[4]{2 x - 3}}}{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}}\right) \left(\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi \cos{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{1}{2 \left(\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \pi \cos{\left(\pi x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{1}{2 \left(\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \pi \cos{\left(\pi x \right)}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+} \log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1 - \frac{3}{2 \sqrt[4]{2 x - 3}}}{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}}\right) \left(\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi \cos{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{1}{2 \left(\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \pi \cos{\left(\pi x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{1}{2 \left(\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \pi \cos{\left(\pi x \right)}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / 3/4\ \
| log\x - (-3 + 2*x) / |
lim |-----------------------------|
x->2+| /pi*x\|
|-sin(pi*(-1 + x)) + sin|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
-1 --- pi
$$- \frac{1}{\pi}$$
= -0.318309886183791
/ / 3/4\ \
| log\x - (-3 + 2*x) / |
lim |-----------------------------|
x->2-| /pi*x\|
|-sin(pi*(-1 + x)) + sin|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
-1 --- pi
$$- \frac{1}{\pi}$$
= -0.318309886183791
= -0.318309886183791
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = - \frac{1}{\pi}$$
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = - \frac{1}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\log{\left(- \left(-3\right)^{\frac{3}{4}} \right)} \right)}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\log{\left(- \left(-3\right)^{\frac{3}{4}} \right)} \right)}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = \log{\left(1 - \left(-1\right)^{\frac{3}{4}} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = \log{\left(1 - \left(-1\right)^{\frac{3}{4}} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = - \frac{1}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\log{\left(- \left(-3\right)^{\frac{3}{4}} \right)} \right)}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\log{\left(- \left(-3\right)^{\frac{3}{4}} \right)} \right)}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = \log{\left(1 - \left(-1\right)^{\frac{3}{4}} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right) = \log{\left(1 - \left(-1\right)^{\frac{3}{4}} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo