Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+} \log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \sin{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1 - \frac{3}{2 \sqrt[4]{2 x - 3}}}{\left(x - \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{4}}\right) \left(\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi \cos{\left(\pi \left(x - 1\right) \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{1}{2 \left(\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \pi \cos{\left(\pi x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{1}{2 \left(\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \pi \cos{\left(\pi x \right)}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)