Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \left(2 x^{2} - 1\right) \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \left(x^{2} \left(x + 1\right) - 1\right) \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 x^{3} - x \right)}}{\log{\left(- x + \left(x^{4} + x^{3}\right) \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \left(2 x^{2} - 1\right) \right)}}{\log{\left(x \left(x^{2} \left(x + 1\right) - 1\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x \left(2 x^{2} - 1\right) \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(x \left(x^{2} \left(x + 1\right) - 1\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(6 x^{2} - 1\right) \left(x^{2} \left(x + 1\right) - 1\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right) \left(x^{2} \left(x + 1\right) + x \left(x^{2} + 2 x \left(x + 1\right)\right) - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(6 x^{2} - 1\right) \left(x^{2} \left(x + 1\right) - 1\right)}{2 x^{2} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} \left(x + 1\right) + x \left(x^{2} + 2 x \left(x + 1\right)\right) - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{24 x^{6}}{4 x^{4} - 4 x^{2} + 1} - \frac{24 x^{5}}{4 x^{4} - 4 x^{2} + 1} + \frac{4 x^{4}}{4 x^{4} - 4 x^{2} + 1} + \frac{30 x^{4}}{2 x^{2} - 1} + \frac{28 x^{3}}{4 x^{4} - 4 x^{2} + 1} + \frac{24 x^{3}}{2 x^{2} - 1} - \frac{3 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{4 x}{4 x^{4} - 4 x^{2} + 1} - \frac{14 x}{2 x^{2} - 1}}{12 x^{2} + 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{24 x^{6}}{4 x^{4} - 4 x^{2} + 1} - \frac{24 x^{5}}{4 x^{4} - 4 x^{2} + 1} + \frac{4 x^{4}}{4 x^{4} - 4 x^{2} + 1} + \frac{30 x^{4}}{2 x^{2} - 1} + \frac{28 x^{3}}{4 x^{4} - 4 x^{2} + 1} + \frac{24 x^{3}}{2 x^{2} - 1} - \frac{3 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{4 x}{4 x^{4} - 4 x^{2} + 1} - \frac{14 x}{2 x^{2} - 1}}{12 x^{2} + 6 x}\right)$$
=
$$\frac{3}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)