Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \sin{\left(90 \left(x - 1\right) \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \operatorname{atan}{\left(29 \left(x - 1\right) \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(90 x - 90 \right)}}{\operatorname{atan}{\left(29 x - 29 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(90 \left(x - 1\right) \right)}}{\operatorname{atan}{\left(29 \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(90 \left(x - 1\right) \right)}}{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(29 \left(x - 1\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(90 \left(29 \left(x - 1\right)^{2} + \frac{1}{29}\right) \cos{\left(90 \left(x - 1\right) \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{90}{29}$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{90}{29}$$
=
$$\frac{90}{29}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)