Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((tres +x)/(diecisiete +x))^(cuatro -x^ dos)
- ((3 más x) dividir por (17 más x)) en el grado (4 menos x al cuadrado )
- ((tres más x) dividir por (diecisiete más x)) en el grado (cuatro menos x en el grado dos)
- ((3+x)/(17+x))(4-x2)
- 3+x/17+x4-x2
- ((3+x)/(17+x))^(4-x²)
- ((3+x)/(17+x)) en el grado (4-x en el grado 2)
- 3+x/17+x^4-x^2
- ((3+x) dividir por (17+x))^(4-x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((3-x)/(17+x))^(4-x^2)
- ((3+x)/(17-x))^(4-x^2)
- ((3+x)/(17+x))^(4+x^2)
Límite de la función ((3+x)/(17+x))^(4-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
4 - x
/3 + x \
lim |------|
x->oo\17 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
Limit(((3 + x)/(17 + x))^(4 - x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 17\right) - 14}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{14}{x + 17} + \frac{x + 17}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{14}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 17}{-14}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{14}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}{u}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{285}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{285}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}{u}} = e^{\frac{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 17\right) - 14}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{14}{x + 17} + \frac{x + 17}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{14}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 17}{-14}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{14}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}{u}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{285}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{285}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}{u}} = e^{\frac{289 - \left(- 14 u - 17\right)^{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \frac{81}{83521}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \frac{81}{83521}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \frac{8}{729}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \frac{8}{729}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \frac{81}{83521}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \frac{81}{83521}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \frac{8}{729}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = \frac{8}{729}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x + 17}\right)^{4 - x^{2}} = 0$$
Más detalles con x→-oo