Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2+sqrt(-1+x))/(-5+x)
-
Límite de (1-cos(2*x))/x^2
-
Límite de (-5-3*x+2*x^2)/(1+x)
-
Límite de 3+x^2-5*x
-
Expresiones idénticas
- (uno +x^(- tres))^(x^ dos)
- (1 más x en el grado ( menos 3)) en el grado (x al cuadrado )
- (uno más x en el grado ( menos tres)) en el grado (x en el grado dos)
- (1+x(-3))(x2)
- 1+x-3x2
- (1+x^(-3))^(x²)
- (1+x en el grado (-3)) en el grado (x en el grado 2)
- 1+x^-3^x^2
-
Expresiones semejantes
- (1+x^(3))^(x^2)
- (1-x^(-3))^(x^2)
Límite de la función (1+x^(-3))^(x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
\x /
/ 1 \
lim |1 + --|
x->oo| 3|
\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}}$$
Limit((1 + x^(-3))^(x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{3}}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{u}}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{u}}} = e^{\frac{1}{\sqrt[3]{u}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{3}}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{u}}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{u}}} = e^{\frac{1}{\sqrt[3]{u}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico