Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 2\right) \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 2\right) \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}} + \frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}} + \frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)