Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (- ocho +x^ dos + dos *x)/(- cuatro +x^ dos)
- ( menos 8 más x al cuadrado más 2 multiplicar por x) dividir por ( menos 4 más x al cuadrado )
- ( menos ocho más x en el grado dos más dos multiplicar por x) dividir por ( menos cuatro más x en el grado dos)
- (-8+x2+2*x)/(-4+x2)
- -8+x2+2*x/-4+x2
- (-8+x²+2*x)/(-4+x²)
- (-8+x en el grado 2+2*x)/(-4+x en el grado 2)
- (-8+x^2+2x)/(-4+x^2)
- (-8+x2+2x)/(-4+x2)
- -8+x2+2x/-4+x2
- -8+x^2+2x/-4+x^2
- (-8+x^2+2*x) dividir por (-4+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (8+x^2+2*x)/(-4+x^2)
- (-8+x^2-2*x)/(-4+x^2)
- (-8+x^2+2*x)/(-4-x^2)
- (-8-x^2+2*x)/(-4+x^2)
- (-8+x^2+2*x)/(4+x^2)
Límite de la función (-8+x^2+2*x)/(-4+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|-8 + x + 2*x|
lim |-------------|
x->oo| 2 |
\ -4 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
Limit((-8 + x^2 + 2*x)/(-4 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 8 u^{2} + 2 u + 1}{1 - 4 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{- 8 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 2 + 1}{1 - 4 \cdot 0^{2}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 8 u^{2} + 2 u + 1}{1 - 4 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{- 8 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 2 + 1}{1 - 4 \cdot 0^{2}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x - 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x - 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|-8 + x + 2*x|
lim |-------------|
x->2+| 2 |
\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
3/2
$$\frac{3}{2}$$
= 1.5
/ 2 \
|-8 + x + 2*x|
lim |-------------|
x->2-| 2 |
\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
3/2
$$\frac{3}{2}$$
= 1.5
= 1.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico