Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro + cinco *x)/(uno + cinco *x))^(tres + nueve *x)
- ((4 más 5 multiplicar por x) dividir por (1 más 5 multiplicar por x)) en el grado (3 más 9 multiplicar por x)
- ((cuatro más cinco multiplicar por x) dividir por (uno más cinco multiplicar por x)) en el grado (tres más nueve multiplicar por x)
- ((4+5*x)/(1+5*x))(3+9*x)
- 4+5*x/1+5*x3+9*x
- ((4+5x)/(1+5x))^(3+9x)
- ((4+5x)/(1+5x))(3+9x)
- 4+5x/1+5x3+9x
- 4+5x/1+5x^3+9x
- ((4+5*x) dividir por (1+5*x))^(3+9*x)
-
Expresiones semejantes
- ((4+5*x)/(1-5*x))^(3+9*x)
- ((4-5*x)/(1+5*x))^(3+9*x)
- ((4+5*x)/(1+5*x))^(3-9*x)
Límite de la función ((4+5*x)/(1+5*x))^(3+9*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3 + 9*x
/4 + 5*x\
lim |-------|
x->oo\1 + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
Limit(((4 + 5*x)/(1 + 5*x))^(3 + 9*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 1\right) + 3}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 1} + \frac{3}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 1}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{27 u}{5} + \frac{6}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{6}{5}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{27 u}{5}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{6}{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{27 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{27 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{27}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{27}{5}} = e^{\frac{27}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = e^{\frac{27}{5}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 1\right) + 3}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 1} + \frac{3}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 1}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{27 u}{5} + \frac{6}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{6}{5}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{27 u}{5}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{6}{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{27 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{27 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{27}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{27}{5}} = e^{\frac{27}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = e^{\frac{27}{5}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = e^{\frac{27}{5}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = 64$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = 64$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = \frac{531441}{4096}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = \frac{531441}{4096}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = e^{\frac{27}{5}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = 64$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = 64$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = \frac{531441}{4096}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = \frac{531441}{4096}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 1}\right)^{9 x + 3} = e^{\frac{27}{5}}$$
Más detalles con x→-oo