Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de ((3+7*x)/(-1+7*x))^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (- nueve + dos *x)^ dos /((- tres +x)*(tres +x))
- ( menos 9 más 2 multiplicar por x) al cuadrado dividir por (( menos 3 más x) multiplicar por (3 más x))
- ( menos nueve más dos multiplicar por x) en el grado dos dividir por (( menos tres más x) multiplicar por (tres más x))
- (-9+2*x)2/((-3+x)*(3+x))
- -9+2*x2/-3+x*3+x
- (-9+2*x)²/((-3+x)*(3+x))
- (-9+2*x) en el grado 2/((-3+x)*(3+x))
- (-9+2x)^2/((-3+x)(3+x))
- (-9+2x)2/((-3+x)(3+x))
- -9+2x2/-3+x3+x
- -9+2x^2/-3+x3+x
- (-9+2*x)^2 dividir por ((-3+x)*(3+x))
-
Expresiones semejantes
- (-9+2*x)^2/((3+x)*(3+x))
- (-9+2*x)^2/((-3-x)*(3+x))
- (9+2*x)^2/((-3+x)*(3+x))
- (-9+2*x)^2/((-3+x)*(3-x))
- (-9-2*x)^2/((-3+x)*(3+x))
Límite de la función (-9+2*x)^2/((-3+x)*(3+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| (-9 + 2*x) |
lim |----------------|
x->oo\(-3 + x)*(3 + x)/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
Limit((-9 + 2*x)^2/(((-3 + x)*(3 + x))), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{36}{x} + \frac{81}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{36}{x} + \frac{81}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{81 u^{2} - 36 u + 4}{1 - 9 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{- 0 + 81 \cdot 0^{2} + 4}{1 - 9 \cdot 0^{2}} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{36}{x} + \frac{81}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{36}{x} + \frac{81}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{81 u^{2} - 36 u + 4}{1 - 9 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{- 0 + 81 \cdot 0^{2} + 4}{1 - 9 \cdot 0^{2}} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = 4$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} - 36 x + 81\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 36 x + 81\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x - 36}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x - 36\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 4$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} - 36 x + 81\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 36 x + 81\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x - 36}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x - 36\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 4$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = -9$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = -9$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = - \frac{49}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = - \frac{49}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = 4$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = -9$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = -9$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = - \frac{49}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = - \frac{49}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x - 9\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right) = 4$$
Más detalles con x→-oo