Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
- Límite de (x^m-a^m)/(x^n-a^n)
-
Límite de (3+x^2+x^3-5*x)/(1+x^3-x-x^2)
-
Límite de ((2+x)/(-3+x))^(5*x)
-
Expresiones idénticas
- -x+x*sqrt((- dos +x)/(- tres +x))
- menos x más x multiplicar por raíz cuadrada de (( menos 2 más x) dividir por ( menos 3 más x))
- menos x más x multiplicar por raíz cuadrada de (( menos dos más x) dividir por ( menos tres más x))
- -x+x*√((-2+x)/(-3+x))
- -x+xsqrt((-2+x)/(-3+x))
- -x+xsqrt-2+x/-3+x
- -x+x*sqrt((-2+x) dividir por (-3+x))
-
Expresiones semejantes
- -x+x*sqrt((2+x)/(-3+x))
- -x+x*sqrt((-2-x)/(-3+x))
- -x+x*sqrt((-2+x)/(3+x))
- -x+x*sqrt((-2+x)/(-3-x))
- -x-x*sqrt((-2+x)/(-3+x))
- x+x*sqrt((-2+x)/(-3+x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(-4+x)
- sqrt(1+x^2-x)-x
- sqrt(-2+x)*(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4+x^2)
- sqrt(14+x^2+8*x)-x
Límite de la función -x+x*sqrt((-2+x)/(-3+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________\
| / -2 + x |
lim |-x + x* / ------ |
x->oo\ \/ -3 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right)$$
Limit(-x + x*sqrt((-2 + x)/(-3 + x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(x - 2\right) \left(\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - 1\right)^{2}}{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(x - 3\right) \left(\frac{1}{2 \left(x - 3\right)} - \frac{x - 2}{2 \left(x - 3\right)^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x - 3} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} + x - \frac{4 x}{x - 3} + 4 \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} - 2 + \frac{4}{x - 3}} + \frac{3}{\frac{x^{2}}{x - 3} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} + x - \frac{4 x}{x - 3} + 4 \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} - 2 + \frac{4}{x - 3}}\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} - 6 x + 9\right)} + \frac{1}{x^{2} - 6 x + 9} + \frac{1}{2 \left(x - 3\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x - 3} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} + x - \frac{4 x}{x - 3} + 4 \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} - 2 + \frac{4}{x - 3}} + \frac{3}{\frac{x^{2}}{x - 3} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} + x - \frac{4 x}{x - 3} + 4 \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} - 2 + \frac{4}{x - 3}}\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} - 6 x + 9\right)} + \frac{1}{x^{2} - 6 x + 9} + \frac{1}{2 \left(x - 3\right)}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(x - 2\right) \left(\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - 1\right)^{2}}{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(x - 3\right) \left(\frac{1}{2 \left(x - 3\right)} - \frac{x - 2}{2 \left(x - 3\right)^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x - 3} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} + x - \frac{4 x}{x - 3} + 4 \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} - 2 + \frac{4}{x - 3}} + \frac{3}{\frac{x^{2}}{x - 3} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} + x - \frac{4 x}{x - 3} + 4 \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} - 2 + \frac{4}{x - 3}}\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} - 6 x + 9\right)} + \frac{1}{x^{2} - 6 x + 9} + \frac{1}{2 \left(x - 3\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x - 3} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} + x - \frac{4 x}{x - 3} + 4 \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} - 2 + \frac{4}{x - 3}} + \frac{3}{\frac{x^{2}}{x - 3} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} + x - \frac{4 x}{x - 3} + 4 \sqrt{\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}} - 2 + \frac{4}{x - 3}}\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} - 6 x + 9\right)} + \frac{1}{x^{2} - 6 x + 9} + \frac{1}{2 \left(x - 3\right)}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} - x\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo