Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x+ uno /(- dos +x))^ cuatro
- (x más 1 dividir por ( menos 2 más x)) en el grado 4
- (x más uno dividir por ( menos dos más x)) en el grado cuatro
- (x+1/(-2+x))4
- x+1/-2+x4
- (x+1/(-2+x))⁴
- x+1/-2+x^4
- (x+1 dividir por (-2+x))^4
-
Expresiones semejantes
- (x+1/(-2-x))^4
- (x+1/(2+x))^4
- (x-1/(-2+x))^4
Límite de la función (x+1/(-2+x))^4
Solución
Ha introducido
[src]
4
/ 1 \
lim |x + ------|
x->oo\ -2 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4}$$
Limit((x + 1/(-2 + x))^4, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{8} - 8 x^{7} + 28 x^{6} - 56 x^{5} + 70 x^{4} - 56 x^{3} + 28 x^{2} - 8 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4}$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x \left(x - 2\right) + 1\right)^{4}}{\left(x - 2\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{8} - 8 x^{7} + 28 x^{6} - 56 x^{5} + 70 x^{4} - 56 x^{3} + 28 x^{2} - 8 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{7} - 56 x^{6} + 168 x^{5} - 280 x^{4} + 280 x^{3} - 168 x^{2} + 56 x - 8}{4 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x - 32}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{7} - 56 x^{6} + 168 x^{5} - 280 x^{4} + 280 x^{3} - 168 x^{2} + 56 x - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x - 32\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{56 x^{6} - 336 x^{5} + 840 x^{4} - 1120 x^{3} + 840 x^{2} - 336 x + 56}{12 x^{2} - 48 x + 48}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(56 x^{6} - 336 x^{5} + 840 x^{4} - 1120 x^{3} + 840 x^{2} - 336 x + 56\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} - 48 x + 48\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{336 x^{5} - 1680 x^{4} + 3360 x^{3} - 3360 x^{2} + 1680 x - 336}{24 x - 48}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(336 x^{5} - 1680 x^{4} + 3360 x^{3} - 3360 x^{2} + 1680 x - 336\right)}{\frac{d}{d x} \left(24 x - 48\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(70 x^{4} - 280 x^{3} + 420 x^{2} - 280 x + 70\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(70 x^{4} - 280 x^{3} + 420 x^{2} - 280 x + 70\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{8} - 8 x^{7} + 28 x^{6} - 56 x^{5} + 70 x^{4} - 56 x^{3} + 28 x^{2} - 8 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4}$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x \left(x - 2\right) + 1\right)^{4}}{\left(x - 2\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{8} - 8 x^{7} + 28 x^{6} - 56 x^{5} + 70 x^{4} - 56 x^{3} + 28 x^{2} - 8 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{7} - 56 x^{6} + 168 x^{5} - 280 x^{4} + 280 x^{3} - 168 x^{2} + 56 x - 8}{4 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x - 32}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{7} - 56 x^{6} + 168 x^{5} - 280 x^{4} + 280 x^{3} - 168 x^{2} + 56 x - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x - 32\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{56 x^{6} - 336 x^{5} + 840 x^{4} - 1120 x^{3} + 840 x^{2} - 336 x + 56}{12 x^{2} - 48 x + 48}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(56 x^{6} - 336 x^{5} + 840 x^{4} - 1120 x^{3} + 840 x^{2} - 336 x + 56\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} - 48 x + 48\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{336 x^{5} - 1680 x^{4} + 3360 x^{3} - 3360 x^{2} + 1680 x - 336}{24 x - 48}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(336 x^{5} - 1680 x^{4} + 3360 x^{3} - 3360 x^{2} + 1680 x - 336\right)}{\frac{d}{d x} \left(24 x - 48\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(70 x^{4} - 280 x^{3} + 420 x^{2} - 280 x + 70\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(70 x^{4} - 280 x^{3} + 420 x^{2} - 280 x + 70\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + \frac{1}{x - 2}\right)^{4} = \infty$$
Más detalles con x→-oo