Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
-
Expresiones idénticas
- (seis +x^ dos + dos *x)/(- uno + tres *x^ dos + siete *x)
- (6 más x al cuadrado más 2 multiplicar por x) dividir por ( menos 1 más 3 multiplicar por x al cuadrado más 7 multiplicar por x)
- (seis más x en el grado dos más dos multiplicar por x) dividir por ( menos uno más tres multiplicar por x en el grado dos más siete multiplicar por x)
- (6+x2+2*x)/(-1+3*x2+7*x)
- 6+x2+2*x/-1+3*x2+7*x
- (6+x²+2*x)/(-1+3*x²+7*x)
- (6+x en el grado 2+2*x)/(-1+3*x en el grado 2+7*x)
- (6+x^2+2x)/(-1+3x^2+7x)
- (6+x2+2x)/(-1+3x2+7x)
- 6+x2+2x/-1+3x2+7x
- 6+x^2+2x/-1+3x^2+7x
- (6+x^2+2*x) dividir por (-1+3*x^2+7*x)
-
Expresiones semejantes
- (6+x^2-2*x)/(-1+3*x^2+7*x)
- (6+x^2+2*x)/(-1+3*x^2-7*x)
- (6+x^2+2*x)/(1+3*x^2+7*x)
- (6-x^2+2*x)/(-1+3*x^2+7*x)
- (6+x^2+2*x)/(-1-3*x^2+7*x)
Límite de la función (6+x^2+2*x)/(-1+3*x^2+7*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| 6 + x + 2*x |
lim |---------------|
x->oo| 2 |
\-1 + 3*x + 7*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right)$$
Limit((6 + x^2 + 2*x)/(-1 + 3*x^2 + 7*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{3 + \frac{7}{x} - \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{3 + \frac{7}{x} - \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6 u^{2} + 2 u + 1}{- u^{2} + 7 u + 3}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 6 \cdot 0^{2} + 1}{- 0^{2} + 0 \cdot 7 + 3} = \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{3 + \frac{7}{x} - \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{3 + \frac{7}{x} - \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6 u^{2} + 2 u + 1}{- u^{2} + 7 u + 3}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 6 \cdot 0^{2} + 1}{- 0^{2} + 0 \cdot 7 + 3} = \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 6\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 7 x - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 6}{3 x^{2} + 7 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 7 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{6 x + 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 6\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 7 x - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 6}{3 x^{2} + 7 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 7 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{6 x + 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = -6$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = -6$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = -6$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = -6$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 6\right)}{7 x + \left(3 x^{2} - 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico