Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- e^x(uno +x+e^x)/(uno +e^x)^ dos
- e en el grado x(1 más x más e en el grado x) dividir por (1 más e en el grado x) al cuadrado
- e en el grado x(uno más x más e en el grado x) dividir por (uno más e en el grado x) en el grado dos
- ex(1+x+ex)/(1+ex)2
- ex1+x+ex/1+ex2
- e^x(1+x+e^x)/(1+e^x)²
- e en el grado x(1+x+e en el grado x)/(1+e en el grado x) en el grado 2
- e^x1+x+e^x/1+e^x^2
- e^x(1+x+e^x) dividir por (1+e^x)^2
-
Expresiones semejantes
- e^x(1+x-e^x)/(1+e^x)^2
- e^x(1-x+e^x)/(1+e^x)^2
- e^x(1+x+e^x)/(1-e^x)^2
Límite de la función e^x(1+x+e^x)/(1+e^x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ x / x\\
|E *\1 + x + E /|
lim |---------------|
x->oo| 2 |
| / x\ |
\ \1 + E / /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$
Limit((E^x*(1 + x + E^x))/(1 + E^x)^2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + e^{x} + 1\right) e^{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(e^{x} + 1\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + e^{x} + 1\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + e^{x} + 1\right) e^{x}}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x e^{x} + 2 e^{2 x} + 2 e^{x}}{2 e^{2 x} + 2 e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x e^{x} + 2 e^{2 x} + 2 e^{x}}{2 e^{2 x} + 2 e^{x}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + e^{x} + 1\right) e^{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(e^{x} + 1\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + e^{x} + 1\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + e^{x} + 1\right) e^{x}}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x e^{x} + 2 e^{2 x} + 2 e^{x}}{2 e^{2 x} + 2 e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x e^{x} + 2 e^{2 x} + 2 e^{x}}{2 e^{2 x} + 2 e^{x}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = \frac{2 e + e^{2}}{1 + 2 e + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = \frac{2 e + e^{2}}{1 + 2 e + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = \frac{2 e + e^{2}}{1 + 2 e + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = \frac{2 e + e^{2}}{1 + 2 e + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \left(e^{x} + \left(x + 1\right)\right)}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo