Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(-2+sqrt(x))
-
Expresiones idénticas
- (uno - tres *x+ dos *x^ dos)/(cuatro +x+ tres *x^ dos)
- (1 menos 3 multiplicar por x más 2 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (4 más x más 3 multiplicar por x al cuadrado )
- (uno menos tres multiplicar por x más dos multiplicar por x en el grado dos) dividir por (cuatro más x más tres multiplicar por x en el grado dos)
- (1-3*x+2*x2)/(4+x+3*x2)
- 1-3*x+2*x2/4+x+3*x2
- (1-3*x+2*x²)/(4+x+3*x²)
- (1-3*x+2*x en el grado 2)/(4+x+3*x en el grado 2)
- (1-3x+2x^2)/(4+x+3x^2)
- (1-3x+2x2)/(4+x+3x2)
- 1-3x+2x2/4+x+3x2
- 1-3x+2x^2/4+x+3x^2
- (1-3*x+2*x^2) dividir por (4+x+3*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (1+3*x+2*x^2)/(4+x+3*x^2)
- (1-3*x+2*x^2)/(4+x-3*x^2)
- (1-3*x-2*x^2)/(4+x+3*x^2)
- (1-3*x+2*x^2)/(4-x+3*x^2)
Límite de la función (1-3*x+2*x^2)/(4+x+3*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|1 - 3*x + 2*x |
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\ 4 + x + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right)$$
Limit((1 - 3*x + 2*x^2)/(4 + x + 3*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} - 3 u + 2}{4 u^{2} + u + 3}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} - 0 + 2}{4 \cdot 0^{2} + 3} = \frac{2}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} - 3 u + 2}{4 u^{2} + u + 3}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} - 0 + 2}{4 \cdot 0^{2} + 3} = \frac{2}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} - 3 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{3 x^{2} + x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} - 3 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 3}{6 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} - 3 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{3 x^{2} + x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} - 3 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 3}{6 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(1 - 3 x\right)}{3 x^{2} + \left(x + 4\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico