Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + cinco *x)/(siete + cinco *x))^(dieciséis *x^ dos)
- ((1 más 5 multiplicar por x) dividir por (7 más 5 multiplicar por x)) en el grado (16 multiplicar por x al cuadrado )
- ((uno más cinco multiplicar por x) dividir por (siete más cinco multiplicar por x)) en el grado (dieciséis multiplicar por x en el grado dos)
- ((1+5*x)/(7+5*x))(16*x2)
- 1+5*x/7+5*x16*x2
- ((1+5*x)/(7+5*x))^(16*x²)
- ((1+5*x)/(7+5*x)) en el grado (16*x en el grado 2)
- ((1+5x)/(7+5x))^(16x^2)
- ((1+5x)/(7+5x))(16x2)
- 1+5x/7+5x16x2
- 1+5x/7+5x^16x^2
- ((1+5*x) dividir por (7+5*x))^(16*x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((1-5*x)/(7+5*x))^(16*x^2)
- ((1+5*x)/(7-5*x))^(16*x^2)
Límite de la función ((1+5*x)/(7+5*x))^(16*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
16*x
/1 + 5*x\
lim |-------|
x->oo\7 + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
Limit(((1 + 5*x)/(7 + 5*x))^(16*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 7\right) - 6}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{5 x + 7} + \frac{5 x + 7}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 7}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{784}{25}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{784}{25}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}{u}} = e^{\frac{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 7\right) - 6}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{5 x + 7} + \frac{5 x + 7}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 7}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{784}{25}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{784}{25}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}{u}} = e^{\frac{16 \left(- \frac{6 u}{5} - \frac{7}{5}\right)^{2} - \frac{784}{25}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = \frac{1}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = \frac{1}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = \frac{1}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = \frac{1}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 7}\right)^{16 x^{2}} = \infty$$
Más detalles con x→-oo