Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{4} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - 3 x + 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 3 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x^{3}}{2 x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4}{2 x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4}{2 x - 3}\right)$$
=
$$-4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)