Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de (1-cos(4*x))/(2*x*tan(2*x))
-
Límite de (1+3*x)^(1/x)
-
Límite de -6+8*x/3
-
Expresiones idénticas
- (dos +x^ cuatro + cuatro *x)/(uno + tres *x+ cinco *x^ dos)
- (2 más x en el grado 4 más 4 multiplicar por x) dividir por (1 más 3 multiplicar por x más 5 multiplicar por x al cuadrado )
- (dos más x en el grado cuatro más cuatro multiplicar por x) dividir por (uno más tres multiplicar por x más cinco multiplicar por x en el grado dos)
- (2+x4+4*x)/(1+3*x+5*x2)
- 2+x4+4*x/1+3*x+5*x2
- (2+x⁴+4*x)/(1+3*x+5*x²)
- (2+x en el grado 4+4*x)/(1+3*x+5*x en el grado 2)
- (2+x^4+4x)/(1+3x+5x^2)
- (2+x4+4x)/(1+3x+5x2)
- 2+x4+4x/1+3x+5x2
- 2+x^4+4x/1+3x+5x^2
- (2+x^4+4*x) dividir por (1+3*x+5*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (2+x^4-4*x)/(1+3*x+5*x^2)
- (2+x^4+4*x)/(1-3*x+5*x^2)
- (2-x^4+4*x)/(1+3*x+5*x^2)
- (2+x^4+4*x)/(1+3*x-5*x^2)
Límite de la función (2+x^4+4*x)/(1+3*x+5*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 \
| 2 + x + 4*x |
lim |--------------|
x->oo| 2|
\1 + 3*x + 5*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right)$$
Limit((2 + x^4 + 4*x)/(1 + 3*x + 5*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{4} + 4 u^{3} + 1}{u^{4} + 3 u^{3} + 5 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0^{3} + 1}{0^{4} + 3 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{4} + 4 u^{3} + 1}{u^{4} + 3 u^{3} + 5 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0^{3} + 1}{0^{4} + 3 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 4 x + 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{2} + 3 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 4 x + 2}{5 x^{2} + 3 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 4 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{2} + 3 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 4}{10 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 4}{10 x + 3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 4 x + 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{2} + 3 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 4 x + 2}{5 x^{2} + 3 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 4 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{2} + 3 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 4}{10 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 4}{10 x + 3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = \frac{7}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = \frac{7}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = \frac{7}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = \frac{7}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{4} + 2\right)}{5 x^{2} + \left(3 x + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico