Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos - uno /x^ dos)/(x^(- dos)+x^ dos)
- (x al cuadrado menos 1 dividir por x al cuadrado ) dividir por (x en el grado ( menos 2) más x al cuadrado )
- (x en el grado dos menos uno dividir por x en el grado dos) dividir por (x en el grado ( menos dos) más x en el grado dos)
- (x2-1/x2)/(x(-2)+x2)
- x2-1/x2/x-2+x2
- (x²-1/x²)/(x^(-2)+x²)
- (x en el grado 2-1/x en el grado 2)/(x en el grado (-2)+x en el grado 2)
- x^2-1/x^2/x^-2+x^2
- (x^2-1 dividir por x^2) dividir por (x^(-2)+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+1/x^2)/(x^(-2)+x^2)
- (x^2-1/x^2)/(x^(2)+x^2)
- (x^2-1/x^2)/(x^(-2)-x^2)
Límite de la función (x^2-1/x^2)/(x^(-2)+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 1 \
|x - --|
| 2|
| x |
lim |-------|
x->oo|1 2|
|-- + x |
| 2 |
\x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Limit((x^2 - 1/x^2)/(x^(-2) + x^2), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 1}{x^{4} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 1}{x^{4} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo