Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-1+x)
-
Límite de (-1+sqrt(x))/(-1+x)
-
Límite de (-1+x)/(-1+x^2)
-
Límite de cos(x)^(x^(-2))
-
Expresiones idénticas
- (uno +n)^ dos /n^ dos
- (1 más n) al cuadrado dividir por n al cuadrado
- (uno más n) en el grado dos dividir por n en el grado dos
- (1+n)2/n2
- 1+n2/n2
- (1+n)²/n²
- (1+n) en el grado 2/n en el grado 2
- 1+n^2/n^2
- (1+n)^2 dividir por n^2
-
Expresiones semejantes
- (1-n)^2/n^2
- 3^n*3^(-1-n)*(1+n)^2/n^2
- 2^n*2^(-1-n)*(1+n)^2/n^2
- 5^n*5^(-1-n)*(1+n)^2/n^2
- 3^(-n)*3^(1+n)*(1+n)^2/n^2
Límite de la función (1+n)^2/n^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|(1 + n) |
lim |--------|
n->oo| 2 |
\ n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Limit((1 + n)^2/n^2, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{2} + 2 u + 1\right)$$
=
$$0^{2} + 0 \cdot 2 + 1 = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{2} + 2 u + 1\right)$$
=
$$0^{2} + 0 \cdot 2 + 1 = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico