Sr Examen

Otras calculadoras:


(1+n)^2/n^2

Límite de la función (1+n)^2/n^2

cuando

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Introducir:

Solución

Ha introducido [src]
     /       2\
     |(1 + n) |
 lim |--------|
n->oo|    2   |
     \   n    /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Limit((1 + n)^2/n^2, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{2} + 2 u + 1\right)$$
=
$$0^{2} + 0 \cdot 2 + 1 = 1$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 4$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Respuesta rápida [src]
1
$$1$$
Gráfico
Límite de la función (1+n)^2/n^2
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