Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^x
-
Límite de (-4+x^2)/(-2+x)
-
Límite de (-sin(x)+tan(x))/x^3
-
Límite de (-1+sqrt(x))/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +sqrt(x))/(- uno +x)
- ( menos 1 más raíz cuadrada de (x)) dividir por ( menos 1 más x)
- ( menos uno más raíz cuadrada de (x)) dividir por ( menos uno más x)
- (-1+√(x))/(-1+x)
- -1+sqrtx/-1+x
- (-1+sqrt(x)) dividir por (-1+x)
-
Expresiones semejantes
- (-1-sqrt(x))/(-1+x)
- (-1+sqrt(x))/(-1-x)
- (-1+sqrt(x))/(-1+x^(1/3))
- (-1+sqrt(x))/(1+x)
- (-1+sqrt(x))/(-1+x^2)
- (1+sqrt(x))/(-1+x)
- log(2^(-1+sqrt(x)))/(-1+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(n^4+2*n^3)*(n+n^2)
- sqrt(15+x)/(-3+x^2+2*x)
- sqrt(1+4*x^2+5*x)-sqrt(1-5*x+4*x^2)
- sqrt(1+n)/sqrt(n)
- sqrt(2)*3^(sqrt(3))/6
Límite de la función (-1+sqrt(x))/(-1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___\
|-1 + \/ x |
lim |----------|
x->oo\ -1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right)$$
Limit((-1 + sqrt(x))/(-1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \left(\sqrt{x} + 1\right)}{\sqrt{x} + 1}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \left(\sqrt{x} + 1\right)}{\sqrt{x} + 1}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ___\
|-1 + \/ x |
lim |----------|
x->-1+\ -1 + x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right)$$
1 I - - - 2 2
$$\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$$
= (0.5 - 0.5j)
/ ___\
|-1 + \/ x |
lim |----------|
x->-1-\ -1 + x /
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right)$$
1 I - - - 2 2
$$\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$$
= (0.5 - 0.5j)
= (0.5 - 0.5j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico