Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(2^{\sqrt{x}} \right)} - \log{\left(2 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{\sqrt{x} - 1} \right)}}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(2^{\sqrt{x}} \right)} - \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{2 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{2}\right)$$
=
$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)