Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de ((3+x)/x)^(-5*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno + tres *x/ cinco)^(uno /x)
- (1 más 3 multiplicar por x dividir por 5) en el grado (1 dividir por x)
- (uno más tres multiplicar por x dividir por cinco) en el grado (uno dividir por x)
- (1+3*x/5)(1/x)
- 1+3*x/51/x
- (1+3x/5)^(1/x)
- (1+3x/5)(1/x)
- 1+3x/51/x
- 1+3x/5^1/x
- (1+3*x dividir por 5)^(1 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- (1-3*x/5)^(1/x)
Límite de la función (1+3*x/5)^(1/x)
Solución
Ha introducido
[src]
_________
/ 3*x
lim x / 1 + ---
x->0+\/ 5
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
Limit((1 + (3*x)/5)^(1/x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{\frac{3}{5} x}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{5 \frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{3}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{3}{5}} = e^{\frac{3}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{3}{5}}$$
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{\frac{3}{5} x}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{5 \frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{3}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{3}{5}} = e^{\frac{3}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{3}{5}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
_________
/ 3*x
lim x / 1 + ---
x->0+\/ 5
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
3/5 e
$$e^{\frac{3}{5}}$$
= 1.82211880039051
_________
/ 3*x
lim x / 1 + ---
x->0-\/ 5
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
3/5 e
$$e^{\frac{3}{5}}$$
= 1.82211880039051
= 1.82211880039051
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{3}{5}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{3}{5}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{8}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{8}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{3}{5}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{8}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{8}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x}{5} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→-oo