Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to -8^+} \operatorname{asin}{\left(n^{2} - 64 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to -8^+}\left(n^{2} + 7 n - 8\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to -8^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(n^{2} - 64 \right)}}{7 n + \left(n^{2} - 8\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to -8^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(n^{2} - 64 \right)}}{n^{2} + 7 n - 8}\right)$$
=
$$\lim_{n \to -8^+}\left(\frac{\frac{d}{d n} \operatorname{asin}{\left(n^{2} - 64 \right)}}{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 7 n - 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to -8^+}\left(\frac{2 n}{\sqrt{1 - \left(n^{2} - 64\right)^{2}} \left(2 n + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to -8^+}\left(- \frac{16}{2 n + 7}\right)$$
=
$$\lim_{n \to -8^+}\left(- \frac{16}{2 n + 7}\right)$$
=
$$\frac{16}{9}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)