Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \tan{\left(5 x \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)} \tan{\left(5 x \right)}}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)} \tan{\left(5 x \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)}}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)} \tan{\left(5 x \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \log{\left(x + 1 \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)} + 5 \log{\left(x + 1 \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)} + \frac{\tan{\left(5 x \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)}}{x + 1} + \frac{6 \log{\left(x + 1 \right)} \tan{\left(5 x \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}}{2 \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \log{\left(x + 1 \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)} + 5 \log{\left(x + 1 \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)} + \frac{\tan{\left(5 x \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)}}{x + 1} + \frac{6 \log{\left(x + 1 \right)} \tan{\left(5 x \right)} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}}{2 \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)