Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} \tan^{3}{\left(4 \right)}}{\sin^{2}{\left(3 \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} \tan^{3}{\left(4 \right)}}{\log{\left(5 x^{2} + 1 \right)} \sin^{2}{\left(3 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} \tan^{3}{\left(4 \right)}}{\log{\left(5 x^{2} + 1 \right)} \sin^{2}{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(2 x \right)} \tan^{3}{\left(4 \right)}}{\sin^{2}{\left(3 \right)}}}{\frac{d}{d x} \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5 x^{2} + 1\right) \cos{\left(2 x \right)} \tan^{3}{\left(4 \right)}}{5 x \sin^{2}{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{3}{\left(4 \right)}}{5 x \sin^{2}{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{3}{\left(4 \right)}}{5 x \sin^{2}{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)