Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(37 x + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(37 x + 1 \right)}}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(37 x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{37 \left(2 x^{2} + \frac{1}{2}\right)}{37 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{37}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{37}{2}$$
=
$$\frac{37}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)