Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} + 3^{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x + 1} + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} + 3^{x}}{3^{x + 1} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} + 3^{x}\right)}{\frac{d}{d x} \left(3^{x + 1} + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right)}{3 \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right)}{3 \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)