Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2 x^{2}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{2 x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- 2 x} \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right)^{2 x^{2}} e^{- 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2 x^{2}}}{\frac{d}{d x} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2 x^{2}} \left(\frac{2 x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + \frac{1}{x}} + 4 x \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}\right) e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2 x^{2}} \left(\frac{2 x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + \frac{1}{x}} + 4 x \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}\right) e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)