Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (x^4-5*x)/(1+x^2-3*x^4)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /    4        \
     |   x  - 5*x  |
 lim |-------------|
x->oo|     2      4|
     \1 + x  - 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Limit((x^4 - 5*x)/(1 + x^2 - 3*x^4), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{-3 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{-3 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - 5 u^{3}}{u^{4} + u^{2} - 3}\right)$$
=
$$\frac{1 - 5 \cdot 0^{3}}{-3 + 0^{2} + 0^{4}} = - \frac{1}{3}$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x^{3} - 5\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{4} + x^{2} + 1\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x^{3} - 5\right)}{- 3 x^{4} + x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x^{3} - 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 3 x^{4} + x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} - 5}{- 12 x^{3} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} - 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 12 x^{3} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{2}}{2 - 36 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(2 - 36 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{3}$$
=
$$- \frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Respuesta rápida [src]
-1/3
$$- \frac{1}{3}$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x}{- 3 x^{4} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo