Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
- Límite de (-1+x^m)/(-1+x^n)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- log(x+ dos ^x)/x
- logaritmo de (x más 2 en el grado x) dividir por x
- logaritmo de (x más dos en el grado x) dividir por x
- log(x+2x)/x
- logx+2x/x
- logx+2^x/x
- log(x+2^x) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- log(x-2^x)/x
- exp(log(x+2^x)/x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x^2)/(1-sqrt(1+x^2))
- log(cos(3*x))/log(cos(5*x))
- log(1+k*x)/x
- log(x)/(1+x^2)
- log(x)/sqrt(x+x^5)
Límite de la función log(x+2^x)/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x\\
|log\x + 2 /|
lim |-----------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right)$$
Limit(log(x + 2^x)/x, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2^{x} + x \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2^{x} + x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 1}{2^{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2^{x} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 1}\right)$$
=
$$\log{\left(2 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2^{x} + x \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2^{x} + x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 1}{2^{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2^{x} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 1}\right)$$
=
$$\log{\left(2 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = \log{\left(2 \right)} + 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = \log{\left(2 \right)} + 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = \log{\left(2 \right)} + 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = \log{\left(2 \right)} + 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico