Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (-2+x)/(-2+sqrt(2)*sqrt(x))
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
-
Límite de (1+1/(7*x))^(4*x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres +x)/(- cuatro +x))^(cinco +x)
- ((3 más x) dividir por ( menos 4 más x)) en el grado (5 más x)
- ((tres más x) dividir por ( menos cuatro más x)) en el grado (cinco más x)
- ((3+x)/(-4+x))(5+x)
- 3+x/-4+x5+x
- 3+x/-4+x^5+x
- ((3+x) dividir por (-4+x))^(5+x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+x)/(-4-x))^(5+x)
- ((3+x)/(-4+x))^(5-x)
- ((3+x)/(4+x))^(5+x)
- ((3-x)/(-4+x))^(5+x)
Límite de la función ((3+x)/(-4+x))^(5+x)
Solución
Ha introducido
[src]
5 + x
/3 + x \
lim |------|
x->oo\-4 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
Limit(((3 + x)/(-4 + x))^(5 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 4\right) + 7}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x - 4} + \frac{7}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 4}{7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{x - 4}\right)^{x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7 u + 9}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{7}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{7} = e^{7}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = e^{7}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 4\right) + 7}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x - 4} + \frac{7}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{x - 4}\right)^{x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 4}{7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{x - 4}\right)^{x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7 u + 9}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{7}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{7} = e^{7}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = e^{7}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = e^{7}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = - \frac{243}{1024}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = - \frac{243}{1024}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = \frac{4096}{729}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = \frac{4096}{729}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = e^{7}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = - \frac{243}{1024}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = - \frac{243}{1024}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = \frac{4096}{729}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = \frac{4096}{729}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x - 4}\right)^{x + 5} = e^{7}$$
Más detalles con x→-oo